الفائدة المركبة: الصيغة وقاعدة 72 وأمثلة محلولة

صيغة الفائدة المركبة حرفا بحرف

الصيغة هي A = P × (1 + r/n)^(nt). الرمز P هو المبلغ الأصلي الذي تبدأ به، وr المعدل السنوي على هيئة كسر عشري (8 بالمئة = 0.08)، وn عدد المرات التي تضاف فيها الفائدة كل سنة، وt الزمن بالسنوات. يكبّر ما بين القوسين المال بمقطع من المعدل في كل فترة، ويعدّ الأس عدد الفترات المارة. تضاف الفائدة إلى الرصيد، ثم تحسب الفائدة التالية على الرصيد الأكبر، وهذا هو كل السر.

حالة أساسية سريعة: مبلغ 1,000 بمعدل 8 بالمئة مضافة شهريا لمدة 10 سنوات. المعدل الشهري 0.08 ÷ 12 = 0.006667، وعدد الفترات 120، فتكون A = 1,000 × (1.006667)^120 = نحو 2,220. أما المبلغ نفسه بفائدة بسيطة فليكسب 80 فقط كل سنة ويصل إلى 1,800؛ والمركبة أضافت الفارق البالغ 420 دون أن تفعل شيئا. ويتسع هذا الفارق كل سنة يبقى فيها المال مستثمرا.

قراءة الأس تفيد عند مقارنة المنتجات: عشر سنوات عند 12 بالمئة (120 فترة شهرية بمعدل 1 بالمئة لكل فترة) تتفوق على عشر سنوات عند 24 بالمئة مضافة مرة واحدة في السنة، رغم أن المعدل المعلن مضاعف. اختصر دائما أي عرض إلى معدل الفترة الواحدة وعدد الفترات قبل أن تحكم عليه.

ولاحظ أن الصيغة تجيب عن سؤال واحد فقط: ما قيمة مبلغ ثابت بعد زمن محدد. أما الإيداعات المتكررة فلها حد إضافي نشرحه في قسم لاحق، ولا تخلط بينهما عند التحقق اليدوي.

قاعدة 72: زمن المضاعفة بلا آلة حاسبة

اقسم 72 على المعدل السنوي فتحصل على العدد التقريبي للسنوات حتى يتضاعف المال: 72 ÷ 8 = 9 سنوات عند 8 بالمئة، و72 ÷ 6 = 12 سنة عند 6 بالمئة، و72 ÷ 3 = 24 سنة عند 3 بالمئة. يأتي هذا الاختصار من حل المعادلة (1 + r)^t = 2 وتقريب اللوغاريتم، وهو يبقى في حدود سنة من الجواب الدقيق للمعدلات بين 4 و12 بالمئة.

والقاعدة تعمل بالعكس وعلى التضخم أيضا. عند تضخم 3 بالمئة، فإن 72 ÷ 3 = 24 سنة هي المدة التي تتضاعف فيها الأسعار، أي التي يفقد فيها نقودك نصف قوتها الشرائي. كما تكشف الرسوم فورا: صندوق يحصّل 2 بالمئة سنويا بدل 0.5 بالمئة يمدد زمن المضاعفة عند 8 بالمئة الإجمالية من نحو 9.6 سنة إلى قرابة 12 سنة، فجوة لا يلاحظها معظم المستثمرين في كشف حسابهم.

وللحساب الذهني بعد المضاعفة، تذكر أن مضاعفتين تضربان في أربعة وثلاث مضاعفات تضرب في ثمانية: فمبلغ 1,000 عند 8 بالمئة لمدة 27 سنة يقارب 1,000 × 2 × 2 × 2 = 8,000، لأن 27 سنة ثلاث مضاعفات من 9 سنوات لكل منها. تحول قاعدة 72 الصيغة إلى حساب تسير عليه وأنت تمشي في الشارع.

هل يهم تكرار إضافة الفائدة؟

المبلغ نفسه 10,000 بمعدل 8 بالمئة لمدة 10 سنوات يصل إلى أماكن مختلفة بوضوح بحسب كم مرة تضاف الفائدة، كما يظهر الجدول.

القفزة من الإضافة السنوية إلى الشهرية تساوي 607، أما من الشهرية إلى اليومية فتضيف 57 فقط. لأن العائد متناقص: فمعدل الفترة يصغر كلما كبر n، والسقف الرياضي هو الإضافة المستمرة عند Pe^(rt) = 10,000 × e^0.8 = نحو 22,255. الترتيب الصادق لما يحرك النتائج: الوقت المستثمر أولا، والمساهمات ثانيا، والرسوم والمعدل ثالثا، والتكرار رابعا وبفارق بعيد.

وتعلن البنوك العائد السنوي الفعلي APY تحديدا لتبسيط هذه المقارنة: فهو يعيد صياغة أي جدول إضافة في صورة معدل سنوي واحد ينتج النتيجة نفسها. فمعدل اسمي 8 بالمئة مضاف شهريا يكافئ عائد سنوي فعلي نحو 8.30 بالمئة، ولذلك حين يقتبس عرضان APY يمكنك مقارنتهما مباشرة بلا حساب إضافي.

وإذا سألت لماذا لا يطارد الجميع الإضافة اليومية فلأن الرسوم تذيب الفارق: صندوق يركب يوميا برسم 1.5 بالمئة سنويا يخسر سريعا أمام صندوق شهري برسم 0.3 بالمئة، لأن نصف بالمئة من الرسوم تحذف ما كسبته كل تلك التكرارات الإضافية.

إضافة المساهمات الشهرية إلى الحساب

للإيداعات المنتظمة حد خاص بها: FV = PMT × ((1 + i)^N - 1) ÷ i، حيث PMT هو القسط، وi معدل الفترة الواحدة، وN عدد الفترات. تجمع الصيغة كل إيداع ممتدا بعدد فترات التركيب الخاص به، فالإيداعات المبكرة تنمو أكثر من غيرها. هذه الحقيقة وحدها سبب أن البدء مبكرا يتفوق على الإيداع الأكبر متأخرا.

تحقق منها بمبلغ 100 شهريا عند 8 بالمئة مضافة شهريا لعشر سنوات: i = 0.006667 وN = 120، فتكون FV = 100 × ((1.006667)^120 - 1) ÷ 0.006667 = 100 × 182.95 = نحو 18,295. أودعت أنت منها 12,000، وساهمت المركبة بباقي الـ 6,295 دون إيداع إضافي واحد منك.

وعادتان تزيدان النتيجة. الأولى رفع قيمة القسط مع التضخم أو الراتب كل سنة، فيتركب النمو على مدخلات متزايدة بدل مبلغ ثابت. والثانية موافقة توقيت الإيداع لتوقيت الإضافة: فالدفعات في بداية كل شهر تكسب فترة فائدة إضافية على دفعات نهاية الشهر، بقيمة تقارب فترة واحدة من الرقم النهائي.

ولا تنس أن استمرارية القسط أهم من كبره في البداية: 50 شهريا تبدأ اليوم تتفوق على 100 شهريا تبدأ بعد خمس سنوات على الأفق الطويل، لأن كل خمس سنوات تأخير تحذف دورة نمو كاملة من أقدم أموالك، وهذه أغلى دورات على الإطلاق.

مثال محلول كامل: 1,000 مع 100 شهريا لمدة 10 سنوات

اجمع القطع. البداية: 1,000. إيداع شهري: 100. المعدل: 8 بالمئة مضافة شهريا. الأفق: 10 سنوات، أي 120 فترة بمعدل 0.6667 بالمئة لكل فترة. ينمو المبلغ الأصلي إلى 1,000 × (1.006667)^120 = نحو 2,220. وتنمو الإيداعات إلى نحو 18,295. المجموع: نحو 20,515، منها 13,000 مال دفعته أنت، و7,515 فائدة كسبها الحساب وحده.

مدد الخطة نفسها إلى 20 سنة فينحني المنحنى صعودا: يصبح جزء المبلغ الأصلي 1,000 × (1.006667)^240 = نحو 4,927، وتصبح الإيداعات نحو 58,902، فيبلغ المجموع قرابة 63,829 مقابل 25,000 أودعت، أي أن الفائدة أضافت وحدها نحو 38,800. ومعظم ذلك يصل في السنوات الأخيرة، ولهذا بالضبط يعد الانسحاب في السنة الثانية عشرة كلفة باهظة.

أعد الخطة نفسها لعشر سنوات عند 5 بالمئة بدل 8 بالمئة فتنتهي قرب 17,175 بدل 20,515. ثلاث نقاط مئوية كلفت نحو 3,340 على هذه الأرقام الصغيرة؛ وعلى أفق 25 سنة وأرصدة أكبر يغير الفارق نفسه الحياة، ولهذا يعد التفاوض على الرسوم شكلا من أشكال الكسب.

واحفظ تسلسل التحقق البسيط: احسب جزء المبلغ الأصلي وحده، ثم جزء الإيداعات وحده، ثم اجمع. وإذا اختلفت أي خطوة عن نتيجة أداة فراجع معدل الفترة وعدد الفترات أولا، فمنهما تأتي معظم الأخطاء، لا من الصيغة نفسها.

التضخم: الطرف الصامت في الصفقة

النمو الاسمي ليس هو الإثراء. عند تضخم 3 بالمئة ترتفع الأسعار نحو 34 بالمئة خلال 10 سنوات، فالمبلغ 20,515 من المثال يشتري تقريبا ما يشتريه 15,300 اليوم. ويقارب العائد الحقيقي بالطرح: 8 بالمئة اسمي ناقص 3 بالمئة تضخم يساوي نحو 5 بالمئة حقيقي، ويمكنك تشغيل الصيغة كلها بمعدل 0.05 لترى الصورة الصادقة.

وهذا يعيد صياغة ثلاثة قرارات شائعة. الادخار النقدي عند 1 بالمئة يخسر أمام تضخم 3 بالمئة بالقيمة الحقيقية مهما طال زمن التركيب. والرسوم تعمل كتركيب سلبي يسحب كل سنة قادمة من قاعدة أصغر. والأفق الطويل أقوى دفاع ضد التضخم، لأن الأصول تجد عقودا لتتجاوز التآكل. أما الضرائب فاللقمة الأخيرة: كثيرا ما تفرض الفوائد كدخل، فقارن المعدلات بعد الضريبة لا الاسمية.

مثال للعائد الحقيقي: 10,000 تنمو عند 8 بالمئة لعشر سنوات فينتهي بها المطاف قرب 21,590 مضافة سنويا. وبعد خصم التضخم بقسمة 1.03^10 = 1.344 تصبح القوة الشرائية نحو 16,060 بمال اليوم، أي مضاعف حقيقي 1.606، قريب من تشغيل الصيغة عند 4.85 بالمئة. حساب التضخم وحساب النمو يستخدمان الأس نفسه، لكن بالاتجاه المعاكس.

الفائدة البسيطة مقابل المركبة

الفائدة البسيطة تدفع على المبلغ الأصلي فقط: 1,000 عند 8 بالمئة بسيطة تكسب 80 بالضبط كل سنة وتصل إلى 1,800 في عشر سنوات. والمركبة بالمعدل نفسه تدفع 80 في السنة الأولى ثم 86.40 في الثانية، لأن السنة الثانية تحسب على 1,080. يبدأ الفارق ضئيلا وينمو أسيّا؛ ففي السنة العاشرة يكون الرصيد المركب نحو 2,160 مقابل 1,800.

ومعرفة أيهما ينطبق عليك تهم في الاتجاهين. معظم حسابات التوفير والاستثمارات وأرصدة بطاقات الائتمان مركبة، ولهذا تتحول ديون البطاقة غير المسددة إلى كرة ثلج بالرياضيات نفسها التي تزيد صندوق مؤشراتك. وبعض القروض والسندات بفائدة بسيطة، وهذا يجعلها أرخص من اقتباس مركب بالمعدل الاسمي نفسه. اسأل سؤالا واحدا عن أي منتج مالي: هل تُحسب الفائدة أو تدفع على الفائدة؟